El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual. Por lo tanto, los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β), siendo éste el ángulo que forman los dos lados iguales (a).
La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.
Propiedades notables y fundamentos
En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.
El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y la altura (h) del triángulo correspondiente a la base.
El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).
Ejemplos de cálculos típicos
Si se conocen el lado que se repite (a) y el ángulo que forman los dos lados iguales, para hallar el perímetro se averiguará el otro lado (b) mediante el teorema del coseno.
Se requieren ejemplos prácticos para entender. Por ejemplo, si la base y los lados son conocidos, se puede hallar el área, perímetro y altura; si sólo se conocen la altura y el ángulo opuesto, se puede determinar el tamaño de la base y de la otra arista mediante relaciones trigonométricas en los triángulos rectángulos que se forman al trazar la altura.
En algunos casos tendremos dos posibles soluciones y necesitaremos un cuarto dato para descartar una de ellas. Para la resolución de estos problemas básicos de triángulos recurriremos al uso de lugares geométricos atendiendo a las propiedades de los triángulos. En este caso, el más básico, tomaremos el lado a como base y lo dibujaremos.
Desde el extremo derecho del segmento trazamos arco con la medida de b. Del mismo modo haremos desde el extremo izquierdo con la medida de c. Para este trazado, tras dibujar el segmento a, colocaremos el ángulo B que ambos lados comparten en el extremo izquierdo del segmento a, prolongamos la línea todo lo necesario para que posteriormente podamos trasladar la medida de c. Desde el vértice trazaremos arco con la medida de c para cortar dicha línea. Como siempre, empezamos colocando el segmento a como base del triángulo. Después colocamos el ángulo B en el extremo correspondiente del segmento. Para finalizar, trazamos arco con la medida de b desde el extremo correspondiente, teniendo en cuenta la nomenclatura de los triángulos. Donde el arco corte al lado del ángulo B estarán los posibles vértices A.
En este problema, salvo que la distancia de b sea igual a la de a, tendremos dos posibles soluciones. En este problema de triángulos, tras dibujar el segmento a, simplemente deberemos colocar los ángulos dados en los extremos correspondientes del lado a. Tras ubicar el lado a, colocamos el ángulo B en el extremo izquierdo y hallamos el arco capaz de A respecto al segmento a. Tras dibujar el segmento a, le hallamos el arco capaz del ángulo A. Después trazamos una paralela al lado a a la distancia de la altura de A. Dicha paralela cortará el arco capaz en dos puntos.
En este caso dibujaremos primero el lado a para posteriormente hallar el arco capaz del ángulo A para dicho segmento. Desde el extremo derecho C del lado a trazamos un arco con la medida de b. Si el lado b fuera mayor que el lado a puede cortar el arco capaz en dos puntos. Como primer paso dibujamos el lado a. Posteriormente trazamos una paralela al lado a a la distancia de la altura de A. Para finalizar trazamos un arco con la distancia de b desde el extremo derecho del lado a (C).
Definiciones básicas y métodos de construcción
Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y dos de sus ángulos son iguales. A veces, la información que te proporcionan para dibujar un triángulo isósceles puede ser limitada. Si conoces las longitudes de los lados, la base y la altura, puedes dibujarlo con solo una regla y un compás (o solo un compás si tienes los segmentos de las líneas).
Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base del triángulo y la de los dos lados iguales. Por ejemplo, podrían indicarte que la base del triángulo mide 8 cm y sus dos lados iguales 6 cm.
Utiliza una regla para asegurarte de medir la línea en forma precisa. Si en vez de una medida tienes como referencia un segmento, dibuja la base ajustando la amplitud del compás como el ancho de esa base. Marca un extremo y luego usa el compás para dibujar el otro extremo. Para ajustarlo, ábrelo en la misma medida que el ancho de uno de los dos lados iguales. Si te proporcionan la medida, puedes usar una regla. Por ejemplo, si la longitud de los lados es de 6 cm, abre el compás hasta alcanzar esa longitud.
Utiliza una regla para dibujar dos líneas que conecten el punto de intersección de los arcos con los extremos de la base. Para utilizar este método, es necesario conocer la longitud de los dos lados iguales y la medida del ángulo comprendido entre ellos. Por ejemplo, podrían indicarte que el triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 7 cm o proporcionarte un segmento de línea que representa a la longitud de estos lados. Utiliza un transportador para construir el ángulo a partir de la medida dada. Por ejemplo, supón que tienes que dibujar un ángulo de 50 grados. Como los lados del triángulo miden 7 cm, los vectores deben medir un poco más de 7 cm.
Si conoces las medidas de longitud de los lados, utiliza una regla para abrir el compás esa misma longitud. Para hacerlo, coloca la punta del compás sobre el vértice del ángulo (donde se unen los dos vectores). Dibuja un arco largo que interseque a los dos vectores del ángulo. Usando un borde recto, dibuja una línea que conecte los puntos de intersección del arco con los dos vectores.
Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base o un segmento de línea que represente a la base. También es necesario conocer la media de los dos ángulos adyacentes a la base. Si conoces la medida de la base, utiliza una regla para dibujar una línea con la longitud correcta. También puedes dibujar la base ajustando el compás con el mismo ancho que el segmento de línea que te han proporcionado. Dibuja uno de los extremos. Crea el otro extremo usando el compás. Utiliza un transportador para dibujar el ángulo del lado izquierdo de la base. Utiliza el transportador para dibujar el ángulo del lado derecho de la base. Asegúrate de que el segundo vector y el primero se intersequen. El punto de intersección de ambas líneas será la punta del triángulo.
Analiza los datos conocidos. Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base y la altura o altitud del triángulo. Si conoces la medida, utiliza una regla. Si vas a usar un segmento de línea en vez de una medida, dibuja la base ajustando el compás con el ancho de la base. Dibuja el primer extremo y posteriormente el segundo con la ayuda del compás. Es decir, dibuja una línea que corte a la base por la mitad. Puedes hacerlo usando un compás y el método que se explica aquí. También puedes bisecar la línea usando una regla y un transportador. Divide la longitud de la base a la mitad. Utiliza la regla para dibujar un punto en el medio. Si conoces la medida de la altura, utiliza una regla para abrir el compás exactamente con esa longitud (por ejemplo, 2,5 cm). Coloca la punta del compás en el punto que marcaste en el medio de la base. Dibuja un arco que atraviese la línea de bisección. Conecta el punto de intersección de la altura y el arco con los dos extremos de la base.
En un triángulo isósceles las rectas notables (mediatriz, bisectriz, mediana y altura), respecto de la base, coinciden en magnitud y posición. Conocida la base (a) en verdadera magnitud y posición y la magnitud de uno de sus lados iguales (mb = mc): este método es similar al usado en la construcción de un triángulo equilátero conocido el lado, la única diferencia es que la base es el lado desigual.
Dada base (a) en verdadera magnitud y posición y su altura (ha) correspondiente: recuerda que todas las rectas notables respecto de la base (ha) tienen la misma magnitud y posición. Conocida la base (a) en verdadera magnitud y posición y la mediana de uno de sus lados iguales (mb = mc): en este caso se trata de determinar la posición del baricentro (G).
Dada la altura de la base (ha) en verdadera magnitud y posición y uno de los lados iguales (b = c): recuerda que la altura de la base de un triángulo isósceles es perpendicular. Dada la altura de la base (ha) en verdadera magnitud y posición y el semiperímetro: en un triángulo isósceles el semiperímetro es la suma de uno de los lados iguales con la mitad de la base.
Dada la base (a) en verdadera magnitud y posición y el radio de la circunferencia inscrita: en los triángulos isósceles (y en los equiláteros) los puntos de contacto (tangencia) de los lados con la circunferencia inscrita están a una distancia del vértice igual a la mitad de la base.
Por lo general, para trazar un triángulo necesitamos al menos 3 datos sobre sus elementos básicos: lados, ángulos, alturas,… En algunos casos tendremos dos posibles soluciones y necesitaremos un cuarto dato para descartar una de ellas. Para la resolución de estos problemas básicos de triángulos recurriremos al uso de lugares geométricos atendiendo a las propiedades de los triángulos. En este caso, el más básico, tomaremos el lado a como base y lo dibujaremos. Desde el extremo derecho del segmento trazamos arco con la medida de b. Del mismo modo haremos desde el extremo izquierdo con la medida de c. Para este trazado, tras dibujar el segmento a, colocaremos el ángulo B que ambos lados comparten en el extremo izquierdo del segmento a, prolongamos la línea todo lo necesario para que posteriormente podamos trasladar la medida de c. Desde el vértice trazaremos arco con la medida de c para cortar dicha línea. Como siempre, empezamos colocando el segmento a como base del triángulo. Después colocamos el ángulo B en el extremo correspondiente del segmento. Para finalizar, trazamos arco con la medida de b desde el extremo correspondiente, teniendo en cuenta la nomenclatura de los triángulos. Donde el arco corte al lado del ángulo B estarán los posibles vértices A.
En este problema, salvo que la distancia de b sea igual a la de a, tendremos dos posibles soluciones. En este problema de triángulos, tras dibujar el segmento a, simplemente deberemos colocar los ángulos dados en los extremos correspondientes del lado a. Tras ubicar el lado a, colocamos el ángulo B en el extremo izquierdo y hallamos el arco capaz de A respecto al segmento a. Tras dibujar el segmento a, le hallamos el arco capaz del ángulo A. Después trazamos una paralela al lado a a la distancia de la altura de A. Dicha paralela cortará el arco capaz en dos puntos.
Construcción geométrica paso a paso
En este caso dibujaremos primero el lado a para posteriormente hallar el arco capaz del ángulo A para dicho segmento. Desde el extremo derecho C del lado a trazamos un arco con la medida de b. Si el lado b fuera mayor que el lado a puede cortar el arco capaz en dos puntos. Como primer paso dibujamos el lado a. Posteriormente trazamos una paralela al lado a a la distancia de la altura de A. Para finalizar trazamos un arco con la distancia de b desde el extremo derecho del lado a (C).
Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y dos de sus ángulos son iguales. A veces, la información que te proporcionan para dibujar un triángulo isósceles puede ser limitada. Si conoces las longitudes de los lados, la base y la altura, puedes dibujarlo con solo una regla y un compás (o solo un compás si tienes los segmentos de las líneas).
Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base del triángulo y la de los dos lados iguales. Por ejemplo, podrían indicarte que la base del triángulo mide 8 cm y sus dos lados iguales 6 cm. Utiliza una regla para asegurarte de medir la línea en forma precisa. Si en vez de una medida tienes como referencia un segmento, dibuja la base ajustando la amplitud del compás como el ancho de esa base. Marca un extremo y luego usa el compás para dibujar el otro extremo. Para ajustarlo, ábrelo en la misma medida que el ancho de uno de los dos lados iguales. Si te proporcionan la medida, puedes usar una regla. Por ejemplo, si la longitud de los lados es de 6 cm, abre el compás hasta alcanzar esa longitud.
Utiliza una regla para dibujar dos líneas que conecten el punto de intersección de los arcos con los extremos de la base. Para utilizar este método, es necesario conocer la longitud de los dos lados iguales y la medida del ángulo comprendido entre ellos. Por ejemplo, podrían indicarte que el triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 7 cm o proporcionarte un segmento de línea que representa a la longitud de estos lados. Utiliza un transportador para construir el ángulo a partir de la medida dada. Por ejemplo, supón que tienes que dibujar un ángulo de 50 grados. Como los lados del triángulo miden 7 cm, los vectores deben medir un poco más de 7 cm.
Como los lados del triángulo miden 7 cm, los vectores deben medir un poco más de 7 cm. Si conoces las medidas de longitud de los lados, utiliza una regla para abrir el compás esa misma longitud. Para hacerlo, coloca la punta del compás sobre el vértice del ángulo (donde se unen los dos vectores). Dibuja un arco largo que interseque a los dos vectores del ángulo. Usando un borde recto, dibuja una línea que conecte los puntos de intersección del arco con los dos vectores.
Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base o un segmento de línea que represente a la base. También es necesario conocer la media de los dos ángulos adyacentes a la base. Si conoces la medida de la base, utiliza una regla para dibujar una línea con la longitud correcta. También puedes dibujar la base ajustando el compás con el mismo ancho que el segmento de línea que te han proporcionado. Dibuja uno de los extremos. Crea el otro extremo usando el compás. Utiliza un transportador para dibujar el ángulo del lado izquierdo de la base. Utiliza el transportador para dibujar el ángulo del lado derecho de la base. Asegúrate de que el segundo vector y el primero se intersequen. El punto de intersección de ambas líneas será la punta del triángulo.
Analiza los datos conocidos. Para utilizar este método es necesario conocer la longitud de la base y la altura o altitud del triángulo. Si conoces la medida, utiliza una regla. Si vas a usar un segmento de línea en vez de una medida, dibuja la base ajustando el compás con el ancho de la base. Dibuja el primer extremo y posteriormente el segundo con la ayuda del compás. Es decir, dibuja una línea que corte a la base por la mitad. Puedes hacerlo usando un compás y el método que se explica aquí. También puedes bisecar la línea usando una regla y un transportador. Divide la longitud de la base a la mitad. Utiliza la regla para dibujar un punto en el medio. Si conoces la medida de la altura, utiliza una regla para abrir el compás exactamente con esa longitud (por ejemplo, 2,5 cm). Coloca la punta del compás en el punto que marcaste en el medio de la base. Dibuja un arco que atraviese la línea de bisección. Conecta el punto de intersección de la altura y el arco con los dos extremos de la base.
1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 3. 3.1. Polígonos regulares inscritos. 3.1.1. División de la circunferencia en 3, 6. 12,... 3.1.2. División de la circunferencia en 4, 8,... 3.1.3. División de la circunferencia en 5, 10,... 3.1.4. 3.1.5. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.3. 1. Sobre una recta r cualquiera se toma un segmento AB igual a la base.2. Se traza la mediatriz del segmento AB.3. Por un punto C cualquiera de la mediatriz se traza un ángulo β igual al dado, de tal forma que la mediatriz sea la bisectriz del ángulo.4. Por los extremos del segmento AB se trazan sendas paralelas a los lados del ángulo anterior.
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